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Lyapunov Exponents for Random Dynamical Systems
In this thesis the Lyapunov exponents of random dynamical systems are presented and investigated. The main results are:
1. In the space of all unbounded linear cocycles satisfying a certain integrability condition, we construct an open set of linear cocycles have simple Lyapunov spectrum and no exponential separation. Thus, unlike the bounded case, the exponential separation property is nongeneric in the space of unbounded cocycles.
2. The multiplicative ergodic theorem is established for random difference equations as well as random differential equations with random delay.
3. We provide a computational method for computing an invariant measure for infinite iterated functions systems as well as the Lyapunov exponents of products of random matrices.In den vorliegenden Arbeit werden Lyapunov-Exponented für zufällige dynamische Systeme untersucht. Die Hauptresultate sind:
1. Im Raum aller unbeschränkten linearen Kozyklen, die eine gewisse Integrabilitätsbedingung erfüllen, konstruieren wir eine offene Menge linearer Kyzyklen, die einfaches Lyapunov-Spektrum besitzen und nicht exponentiell separiert sind. Im Gegensatz zum beschränkten Fall ist die Eingenschaft der exponentiellen Separiertheit nicht generisch in Raum der unbeschränkten Kozyklen.
2. Sowohl für zufällige Differenzengleichungen, als auch für zufällige Differentialgleichungen, mit zufälligem Delay wird ein multiplikatives Ergodentheorem bewiesen.
3.Eine algorithmisch implementierbare Methode wird entwickelt zur Berechnung von invarianten Maßen für unendliche iterierte Funktionensysteme und zur Berechnung von Lyapunov-Exponenten für Produkte von zufälligen Matrizen
Lyapunov Exponents for Random Dynamical Systems
In this thesis the Lyapunov exponents of random dynamical systems are presented and investigated. The main results are:
1. In the space of all unbounded linear cocycles satisfying a certain integrability condition, we construct an open set of linear cocycles have simple Lyapunov spectrum and no exponential separation. Thus, unlike the bounded case, the exponential separation property is nongeneric in the space of unbounded cocycles.
2. The multiplicative ergodic theorem is established for random difference equations as well as random differential equations with random delay.
3. We provide a computational method for computing an invariant measure for infinite iterated functions systems as well as the Lyapunov exponents of products of random matrices.In den vorliegenden Arbeit werden Lyapunov-Exponented für zufällige dynamische Systeme untersucht. Die Hauptresultate sind:
1. Im Raum aller unbeschränkten linearen Kozyklen, die eine gewisse Integrabilitätsbedingung erfüllen, konstruieren wir eine offene Menge linearer Kyzyklen, die einfaches Lyapunov-Spektrum besitzen und nicht exponentiell separiert sind. Im Gegensatz zum beschränkten Fall ist die Eingenschaft der exponentiellen Separiertheit nicht generisch in Raum der unbeschränkten Kozyklen.
2. Sowohl für zufällige Differenzengleichungen, als auch für zufällige Differentialgleichungen, mit zufälligem Delay wird ein multiplikatives Ergodentheorem bewiesen.
3.Eine algorithmisch implementierbare Methode wird entwickelt zur Berechnung von invarianten Maßen für unendliche iterierte Funktionensysteme und zur Berechnung von Lyapunov-Exponenten für Produkte von zufälligen Matrizen
The mean-square dichotomy spectrum and a bifurcation to a mean-square attractor
The dichotomy spectrum is introduced for linear mean-square random dynamical
systems, and it is shown that for finite-dimensional mean-field stochastic
differential equations, the dichotomy spectrum consists of finitely many
compact intervals. It is then demonstrated that a change in the sign of the
dichotomy spectrum is associated with a bifurcation from a trivial to a
non-trivial mean-square random attractor
The Bohl spectrum for nonautonomous differential equations
We develop the Bohl spectrum for nonautonomous linear differential equation
on a half line, which is a spectral concept that lies between the Lyapunov and
the Sacker--Sell spectrum. We prove that the Bohl spectrum is given by the
union of finitely many intervals, and we show by means of an explicit example
that the Bohl spectrum does not coincide with the Sacker--Sell spectrum in
general. We demonstrate for this example that any higher-order nonlinear
perturbation is exponentially stable, although this not evident from the
Sacker--Sell spectrum. We also analyze in detail situations in which the Bohl
spectrum is identical to the Sacker-Sell spectrum